# Finite Geometry Seminar

•  Friday, 14.15-15.45  •  ELTE Southern building, room 3.607  •  Pázmány P. sétány 1/C  •

# Program of the current semester (2018 Spring)

## Sidorenko-egyenlőtlenség determinánsokra

May 18, Péter Csikvári

Egy $$G$$ gráf és egy $$x \in (0,1)$$ számra tekintsük azon pozitív definit $$A$$ mátrixokat, melyek átlójában $$1$$-esek vannak és ha két csúcs össze van kötve akkor  $$A_{u,v}=x$$. (A nem összekötött csúcspároknál bármi lehet, csak az $$A$$ pozitív definitségét kell fenntartani.) Legyen ezen mátrixok közül a legnagyobb determinánsú mátrix determinánsa $$\tau(G,x)$$. Szegedy Balázs sejtette és közösen bizonyítottuk, hogy $$\tau(G,x) \geq \tau(K_2,x)^{e(G)}=(1-x^2)^{e(G)}$$, ahol $$e(G)$$ a $$G$$ éleinek száma. Az előadásomban el fogom mesélni, honnan jön ez a furcsa sejtés, mi köze az eredeti Sidorenko-sejtéshez és hogyan kapcsolódik Brendan McKay egy feszítőfák számára vonatkozó tételéhez.

May 11

## Stabilitási eredmény projektív terek felső kromatikus számával kapcsolatban

April 27 May 4, Zoltán Blázsik

Általában egy $$H(V,E)$$ hipergráf esetén valódi $$N$$-színezésről beszélünk, ha a $$V$$ halmazt úgy partícionáljuk $$N$$ osztályra, hogy egyik sem üres. Egy hiperélt szivárványnak nevezünk, ha minden színosztályből legfeljebb $$1$$ elemet tartalmaz. A hipergráf felső kromatikus számának nevezzük azt a legnagyobb $$N$$ számot, amire a hipergráfnak van olyan valódi $$N$$-színezése, amiben nincsenek szivárvány hiperélek (szivárványmentes). Egy nemnegatív $$t$$ szám esetén a $$T \subseteq V$$ részhalmazt a hipergráf $$t$$-transzverzálisának nevezzük, ha a $$T$$ mindegyik hiperélbe legalább $$t$$ elemben belemetsz. A hipergráf egy színezését triviálisnak nevezzük, ha tartalmaz egyszínű $$2$$-transzverzálist.
Az előadásban az $$n$$-dimenziós projektív tér pontjai és $$k$$-dimenziós alterei által meghatározott hipergráf szivárványmentes színezéseit vizsgáljuk. Vegyük észre, hogy a nem egyelemű színosztályok uniója egy 2-transzverzális, vagy máshogy fogalmazva egy kétszeresen $$(n-k)$$-lefogó ponthalmaza a projektív térnek. Az előadás célja, hogy egy olyan sziváránymentes színezésről, melyben a nem egyelemű színosztályok uniójának mérete az elméleti minimális méretét ($$2q^{n-k}$$) egy kétszeresen $$(n-k)$$-lefogó ponthalmaznak csak egy kicsivel (kb $$q^{n-k}/17$$-tel) haladja meg, megmutassuk, hogy triviális kell legyen (azaz tartalmaznia kell egyszínű kétszeresen $$(n-k)$$-lefogó ponthalmazt).
Közös munka Héger Tamással, Kovács Istvánnal és Szőnyi Tamással.

## MRD codes with maximum idealizers

April 20, Bence Csajbók

Left and right idealizers are important invariants of linear rank metric codes. In case of $$n\times n$$ MRD codes over $$\mathrm{GF}(q)$$ the idealizers have been proved to be isomorphic to finite fields of size at most $$q^n$$. Up to now, the only known MRD codes with maximum left and right idealizers are the generalized Gabidulin codes. I present some new constructions and classification results. It turned out that the existence of such codes is strongly related to some classical results from finite geometry and finite field theory.
This is a joint work with Olga Polverino, Giuseppe Marino and Yue Zhou.

## Planar arcs, a recent paper by Simeon Ball and Michel Lavrauw

April 13, Aart Blokhuis (Eindhoven)

The abstract can be read here in pdf format.

## Small weight codewords in the code of points and hyperplanes of $$\mathrm{PG}(n, p)$$, $$p$$ prime

April 6, Leo Storme (Ghent University)

The abstract can be read here in pdf format.

March 30

## Special seminar: New definitions for Cameron-Liebler sets & Classification of hyperovals and KM-arcs in small projective planes

March 28 (Wednesday!) 1:30 PM (!), Jozefien D'haeseleer & Peter Vandendriessche

A Cameron-Liebler set is a set of subspaces in a fixed finite projective space, that has many equivalent definitions. Cameron and Liebler started with a Cameron-Liebler line set $$S$$ in $$\mathrm{PG}(3, q)$$, which is a set of lines, so that every line spread in $$\mathrm{PG}(3, q)$$ has the same number of lines in common with $$S$$. After a large number of results regarding Cameron-Liebler sets of lines in the projective space $$\mathrm{PG}(3, q)$$, Cameron-Liebler sets of $$k$$-spaces in the $$(2k+1)$$-dimensional projective space $$\mathrm{PG}(2k+1, q)$$ were defined. In addition, this research started the motivation for defining and investigating Cameron-Liebler sets of generators in polar spaces. In this talk I will discuss a new definition for Cameron-Liebler sets in projective and polar spaces, where I will use the theory of association schemes. By using this new definition, we try to give a classification result for Cameron-Liebler $$k$$-sets in $$\mathrm{PG}(n, q)$$.

Hyperovals (resp. KM-arcs) are point sets in $$\mathrm{PG}(2,q)$$ (resp. in $$\mathrm{AG}(2,q)^D$$) such that every line contains 0 or 2 of these points. Every hyperoval can be seen as a KM-arc, but not vice versa; both only exist when $$q$$ is even. Hyperovals always have size $$q+2$$, KM-arcs have size $$q+t$$ for some $$t\mid q$$. A commonly studied problem for any projective substructure is to classify its examples in small projective planes. We give an overview of the known results, with particular focus on the most recent result: a full classification of the KM-arcs in $$\mathrm{PG}(2,64)$$.

## A Carlitz type result for linearized polynomials

March 23, Giuseppe Marino

The abstract can be read here in pdf format.

March 16

March 9

## Discrete Fuglede Conjecture and Pompeiu problem

March 2, Gábor Somlai

The abstract can be read here in pdf format.

## Double blocking sets of size $$3q-1$$ in $$\mathrm{PG}(2,q)$$

Feb 23, Tamás Héger

We report on constructions of minimal double blocking sets of size $$3q-1$$ in $$\mathrm{PG}(2,q)$$ for $$q=13$$, $$16$$, $$19$$, $$25$$, $$31$$, $$37$$ and $$43$$. These are particularly interesting when $$q$$ is prime, because in that case, no examples of double blocking sets of size less than $$3q$$ has been known except for $$q=13$$. All of our examples admit two $$(q-1)$$-secants and have been found using a computer. Furthermore, we show that a double blocking set in $$\mathrm{PG}(2,q)$$ of size $$3q-1$$ cannot have three $$(q-1)$$-secants. These results partially prove and disprove some conjectures of R. Hill from 1984. Joint work with Bence Csajbók.