MTA-ELTE Geometric and Algebraic
Combinatorics Research Group

Finite Geometry Seminar

•  Friday, 14.15-15.45  •  ELTE Southern building, room 3.607  •  Pázmány P. sétány 1/C  •

Program of the current semester (2017 Fall)

Corollaries of a finite field contraction in the spirit of Mors and Furedi; and an alternative way to construct the projective planes \(\mathrm{PG}(2,q)\).

Nov 17, Zoltán Lóránt Nagy

We show an asymptotically tight result for the lower bound on  the number of copies of \(K_{2,t}\) graphs in balanced bipartite graphs, in terms of the number of edges, if the excess over the extremal number \(ex_{bi}(n+n, K_{2,t})\) is at least of order \(n\sqrt{n}\). We also point out that the applied construction yields a good bound on certain bipartite Ramsey numbers as well.  Finally, we present a novel construction of the projective plane over a finite field via the solutions of a Vandermonde-type matrix-equality. 

On sets of points with few odd secants.

Nov 10, Bence Csajbók

Let \(S\) be a set of \(q+2\) points in \(\mathrm{PG}(2,q)\), \(q\) odd. An odd secant of \(S\) is a line incident with an odd number of points of \(S\). A conjecture from [1] states that the number of odd secants of \(S\) is at least \(2q-2\). Observe that a conic, together with an external point is a set of \(q+2\) points with \(2q-2\) odd secants. In this talk we prove asymptotically this conjecture up to a constant, that is, we show that there is a constant \(c\) and a \(K\) such that the number of odd secants of \(S\) is at least \(2q-c\) for \(q > K\). This is a joint work with Simeon Ball.

[1] P. Balister, B. Bollobás, Z. Füredi and J. Thompson, Minimal symmetric differences of lines in projective planes, J. Combin. Des., 22 (2014) 435-451.

Break

Nov 3.

Hegyeshalmok - mik ezek és mekkorák? (Improved bounds for acute sets)

Oct 27, Gerencsér Balázs

Erdős először 1950 körül vetette föl a következő problémát: hány pontot lehet lehet \(\mathbb{R}^d\)-ben úgy megválasztani, hogy minden általuk alkotott szög hegyesszög legyen? Évtizedekig a legjobb alsó és felső becslés csak rendkívül lassan közeledett egymáshoz, viszont az elmúlt fél évben felgyorsultak az események. Ebben az előadásban elmeséljük ennek a fordulatos történetét, vázolva a konstrukciókat és bizonyításokat. Harangi Viktorral közös munka.

Lefogó ponthalmazok  diszjunkt Baer-részsíkok uniójára vonatkozóan.

Oct 20, Szőnyi Tamás

Egy \(q^2\) rendű Galois-síkon tekintsük a \(t\) diszjunkt Baer-részsík pontjai és egyenesei alkotta reguláris es uniform illeszkedési struktúrát. Ebben keressük a minimális méretű lefogó ponthalmazokat. Ha \(t\) kicsi, ezek \(t\) darab részegyenes uniói (minden részsíkban annak egy egyenesét vesszük), azaz \(t(q + 1)\) pontból állnak. Ha \(t\) nagy (azaz \(q^2 - q\)  közelében van), akkor viszont egy Baer-részsíkot kell vennünk, azaz a legkisebb méret \(q^2 + q + 1\). Az előadás ezt a problémát járja körül. Az eredmények Aart Blokhuis-szal és Leo Storme-val közösek.

An overview of codes arising from projective spaces.

Oct 13, Ferdinando Zullo (Caserta (IT))

Let us consider the projective space \(\mathrm{PG}(n,q)\) with \(n>1\) (\(q\) possibly not a prime power, if \(n=2\)). We define the incidence matrix \(A=(a_{i,j})\) of \(\mathrm{PG}(n,q)\) as the matrix whose rows are indexed by \(t\)-spaces of \(\mathrm{PG}(n,q)\) and whose columns are indexed by the \(s\)-spaces of \(\mathrm{PG}(n,q)\), and with entries \[ a_{i,j}= \left\{ \begin{array}{llrr} 1 & \text{if \(s\)-space \(j\) is contained in \(t\)-space \(i\),} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{array} \right. \] The linear code over \(\mathbb{F}_p\), where \(p\) is a prime, generated by the rows of the matrix \(A\) is denoted by \(\mathcal{C}_{s,t}(n,q)\). The interest in these codes started after the works of E. Prange and L. D. Rudolph, which showed that projective planes could be used to define error-correcting codes. In this talk I will report on the state of the art in such codes, and provide some open problems on following topics:

  • the parameters of \(\mathcal{C}_{s,t}(n,q)\), \(\mathcal{C}_{s,t}(n,q)^\perp\) and \(\mathcal{C}_{s,t}(n,q)\cap\mathcal{C}_{s,t}(n,q)^\perp\);
  • weight distributions and nature of codewords;
  • the case of non-Desarguesian planes.