# Finite Geometry Seminar

•  Friday, 14.15-15.45  •  ELTE Southern building, room 3.607  •  Pázmány P. sétány 1/C  •

# Program of the current semester (2017 Fall)

## Corollaries of a finite field contraction in the spirit of Mors and Furedi; and an alternative way to construct the projective planes $$\mathrm{PG}(2,q)$$.

Nov 17, Zoltán Lóránt Nagy

We show an asymptotically tight result for the lower bound on  the number of copies of $$K_{2,t}$$ graphs in balanced bipartite graphs, in terms of the number of edges, if the excess over the extremal number $$ex_{bi}(n+n, K_{2,t})$$ is at least of order $$n\sqrt{n}$$. We also point out that the applied construction yields a good bound on certain bipartite Ramsey numbers as well.  Finally, we present a novel construction of the projective plane over a finite field via the solutions of a Vandermonde-type matrix-equality.

## On sets of points with few odd secants.

Nov 10, Bence Csajbók

Let $$S$$ be a set of $$q+2$$ points in $$\mathrm{PG}(2,q)$$, $$q$$ odd. An odd secant of $$S$$ is a line incident with an odd number of points of $$S$$. A conjecture from [1] states that the number of odd secants of $$S$$ is at least $$2q-2$$. Observe that a conic, together with an external point is a set of $$q+2$$ points with $$2q-2$$ odd secants. In this talk we prove asymptotically this conjecture up to a constant, that is, we show that there is a constant $$c$$ and a $$K$$ such that the number of odd secants of $$S$$ is at least $$2q-c$$ for $$q > K$$. This is a joint work with Simeon Ball.

[1] P. Balister, B. Bollobás, Z. Füredi and J. Thompson, Minimal symmetric differences of lines in projective planes, J. Combin. Des., 22 (2014) 435-451.

Nov 3.

## Hegyeshalmok - mik ezek és mekkorák? (Improved bounds for acute sets)

Oct 27, Gerencsér Balázs

Erdős először 1950 körül vetette föl a következő problémát: hány pontot lehet lehet $$\mathbb{R}^d$$-ben úgy megválasztani, hogy minden általuk alkotott szög hegyesszög legyen? Évtizedekig a legjobb alsó és felső becslés csak rendkívül lassan közeledett egymáshoz, viszont az elmúlt fél évben felgyorsultak az események. Ebben az előadásban elmeséljük ennek a fordulatos történetét, vázolva a konstrukciókat és bizonyításokat. Harangi Viktorral közös munka.

## Lefogó ponthalmazok  diszjunkt Baer-részsíkok uniójára vonatkozóan.

Oct 20, Szőnyi Tamás

Egy $$q^2$$ rendű Galois-síkon tekintsük a $$t$$ diszjunkt Baer-részsík pontjai és egyenesei alkotta reguláris es uniform illeszkedési struktúrát. Ebben keressük a minimális méretű lefogó ponthalmazokat. Ha $$t$$ kicsi, ezek $$t$$ darab részegyenes uniói (minden részsíkban annak egy egyenesét vesszük), azaz $$t(q + 1)$$ pontból állnak. Ha $$t$$ nagy (azaz $$q^2 - q$$  közelében van), akkor viszont egy Baer-részsíkot kell vennünk, azaz a legkisebb méret $$q^2 + q + 1$$. Az előadás ezt a problémát járja körül. Az eredmények Aart Blokhuis-szal és Leo Storme-val közösek.

## An overview of codes arising from projective spaces.

Oct 13, Ferdinando Zullo (Caserta (IT))

Let us consider the projective space $$\mathrm{PG}(n,q)$$ with $$n>1$$ ($$q$$ possibly not a prime power, if $$n=2$$). We define the incidence matrix $$A=(a_{i,j})$$ of $$\mathrm{PG}(n,q)$$ as the matrix whose rows are indexed by $$t$$-spaces of $$\mathrm{PG}(n,q)$$ and whose columns are indexed by the $$s$$-spaces of $$\mathrm{PG}(n,q)$$, and with entries $a_{i,j}= \left\{ \begin{array}{llrr} 1 & \text{if $$s$$-space $$j$$ is contained in $$t$$-space $$i$$,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{array} \right.$ The linear code over $$\mathbb{F}_p$$, where $$p$$ is a prime, generated by the rows of the matrix $$A$$ is denoted by $$\mathcal{C}_{s,t}(n,q)$$. The interest in these codes started after the works of E. Prange and L. D. Rudolph, which showed that projective planes could be used to define error-correcting codes. In this talk I will report on the state of the art in such codes, and provide some open problems on following topics:

• the parameters of $$\mathcal{C}_{s,t}(n,q)$$, $$\mathcal{C}_{s,t}(n,q)^\perp$$ and $$\mathcal{C}_{s,t}(n,q)\cap\mathcal{C}_{s,t}(n,q)^\perp$$;
• weight distributions and nature of codewords;
• the case of non-Desarguesian planes.